Unter dem Zweikörperproblem versteht man die Bewegung der zwei beteiligten Körper unter dem gegenseitigen Einfluss der Gravitation. Das Zweikörperproblem lässt sich analytisch lösen, d.h. die Bahnen für verschiedene Fälle können berechnet werden.

Der Planet bewegt sich auf einer Kreisbahn um einen Zentralkörper  

Zunächst werden folgende Annahmen vorausgesetzt:

-         Die zentrale Masse ist sehr groß gegenüber der Masse des Planeten

-         Die Zentralmasse ruht

-         Der Planet beschreibt eine Kreisbahn                

Auf einer Kreisbahn sind Gravitation und  Zentripetalkraft gleich:

     F_Zentripetal = F_Gravitation    

  

Umformen der Gleichung ergibt:  

 

Der Quotient aus dem Quadrat der Umlaufzeiten und der dritten Potenz des Bahnradius ist konstant.  

Zentralmasse und Planet bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt

Dieses Modell trifft auf das System Erde-Mond und viele Doppelsternsysteme zu.

Die beiden beteiligten Massen bewegen sich auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Radien r₁ und r₂ ergeben sich aus dem Hebelgesetz:  

Im Kräfteansatz sind bei der Zentripetalkraft diese Radien einzusetzen.                   

Zentralmasse und Planet bewegen sich auf Ellipsen um den Schwerpunkt

Hier ist der Kreisbahnradius durch die große Halbachse zu ersetzen.    

In dieser Form ist sowohl die Schwerpunktbewegung als auch die Bewegung auf Ellipsenbahnen beschrieben.

Während die erste Formulierung für einen Zentralkörper nur die Zentralmasse beinhaltet, kann mit der allgemeinen Form des 3. Kepler-Gesetzes auf beide beteiligte Massen geschlossen werden. So ist durch die Bahnanalyse z.B. bei Doppelsternen die Bestimmung der Sternmassen möglich. 

Disclaimer  Eugen und Maria Fornoff, Arberstraße 4, 94405 Landau   Oktober 2011